Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán

admin1234 ngày ago

0 1 4 minutes read

Bài tập về quan hệ Việt Nam và ứng dụng là tài liệu ôn thi không thể thiếu dành cho các em học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10.

Các chủ đề về hệ thống và ứng dụng Việt Nam gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập về Quan hệ của Việt. Tài liệu được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp các em củng cố, nắm chắc kiến thức nền tảng, vận dụng làm các bài tập cơ bản để đạt điểm cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc hai chứa tham số, các dạng bài tập về căn bậc hai. Vậy đây là bài tập về quan hệ Việt và ứng dụng, mời các bạn cùng tham khảo. đón đọc.

Bài tập về quan hệ Việt Nam và ứng dụng

Dạng 1: Nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm là 1 hoặc -1. Vi du 1: Nghiệm sai của các phương trình sau:

một) $3 x ^ {2} +8 x-11 = 0$

b) $2 x ^ {2} +5 x + 3 = 0$

1.2. Cho một phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho một nghiệm, tìm nghiệm kia và cho biết hệ số chura đã biết của phương trình:

Ví dụ 2:

a) Phương trình $x ^ {2} -2 p x + 5 = 0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình $x ^ {2} +5 x + q = 0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình $x ^ {2} -7 x + q = 0$ biết hiệu của hai nghiệm là 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình $x ^ {2} -q x + 50 = 0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nhau, tìm q và hai nghiệm đó.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình

a) 5 $x ^ {2} +24 x + 19 = 0$

b) $x ^ {2} - (m + 5) x + m + 4 = 0$

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

một) $x ^ {2} + m x-35 = 0$ biết một nghiệm bằng -5

b) $2 x ^ {2} - (m + 4) x + m = 0$ biết một giải pháp là -3

c) $mx ^ {2} -2 (m-2) x + m-3 = 0$ biết một nghiệm bằng 3

2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai

2.1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 và 2

Ví dụ 2: Cho $mathrm {x} _ {1} = frac { sqrt {3} +1} {2}; mathrm {x} _ {2} = frac {1} {1+ sqrt {3}}$

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: $mathrm {x} _ {1}; mathrm {x} _ {2}.$

2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Cho phương trình $x ^ {2} -3 x + 2 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}.$

Ví dụ 2: Cho phương trình $3 x ^ {2} +5 x-6 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}.$ . Lập phương trình bậc hai có nghiệm $y_ {1} = x_ {1} + frac {1} {x_ {2}}; y_ {2} = x_ {2} + frac {1} {x_ {1}}$

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: $mathrm {x} ^ {2} + mathrm {px} + mathrm {q} = 0$ như vậy hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}.$ của phương trình thỏa mãn hệ thức: $left { begin {array} {l} mathrm {x} _ {1} - mathrm {x} _ {2} = 5 \ mathrm {x} _ {1} ^ {3} - mathrm {x} _ {2} ^ {3} = 35 end {array} right.$

* Bài tập ứng dụng:

Bài 1: Viết phương trình bậc hai với các nghiệm sau:

a) 8 và -3

b) 36 và -104

c) $1+ sqrt {2} và 1- sqrt {2}$

d) $sqrt {2} + sqrt {3}$ và $frac {1} { sqrt {2} + sqrt {3}}$

Bài 2: Đối với phương trình $x ^ {2} -5 x-1 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ . Lập phương trình bậc hai có nghiệm $y_ {1} = x_ {1} ^ {4}; y_ {2} = x_ {2} ^ {4}$

Bài 3: Đối với phương trình $x ^ {2} -2 x-8 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ . Lập phương trình bậc hai có nghiệm $y_ {1} = x_ {1} -3; y_ {2} = x_ {2} -3$

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là nghịch đảo của các nghiệm của $x ^ {2} + m x-2 = 0$

Bài 5: Đối với phương trình $x ^ {2} -2 xm ^ {2} = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ . Lập phương trình bậc hai có nghiệm $y_ {1} = 2 x_ {1} -1; y_ {2} = 2 x_ {2} -1$

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $left { begin {array} {l} x_ {1} -x_ {2} = 2 \ x_ {1} ^ {3} -x_ {2} {} ^ {3} = 26 end {array }đúng.$

3. Dạng 3: Tìm hai số có tổng và tích đã biết.

ví dụ 1: Tìm hai số a, b biết S = a + b = -3, P = ab = -4

Ví dụ 2: Tìm hai số a, b biết S = a + b = 3, P = ab = 6

* Bài tập ứng dụng:

1: Tìm hai số có tổng S = 9 và tích P = 20

2. Tìm x, y biết

a) x + y = 11; xy = 28

b) xy = 5; xy = 66

Bài 3: Tìm hai số x và y đã biết: $x ^ {2} + y ^ {2} = 25; xy = 12$

4. Dạng 4: Dạng toán về quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.

Ví dụ

1: Cho phương trình $x ^ {2} -8 x + 15 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ hãy đếm

một) $x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}$

b) $frac {1} {x_ {1}} + frac {1} {x_ {2}}$

c) $frac {x_ {1}} {x_ {2}} + frac {x_ {2}} {x_ {1}}$

Bài tập ứng dụng:

Bài 1: Đối với phương trình $8 x ^ {2} -72 x + 64 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ hãy đếm

$a) x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}$

$b) frac {1} {x_ {1}} + frac {1} {x_ {2}}$

Bài 2: Đối với phương trình $x ^ {2} -14 x + 29 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ hãy đếm

$a) x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}$

$b) frac {1-x_ {1}} {x_ {1}} + frac {1-x_ {2}} {x_ {2}}$

4.2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số

ví dụ 1: Đối với phương trình $mx ^ {2} - (2 m + 3) x + m-4 = 0$ (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$

b) Tìm mối quan hệ giữa $x_ {1}; x_ {2}$ không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi điện $x_ {1}; x_ {2}$ là nghiệm của phương trình $(m-1) x ^ {2} -2 m x + m-4 = 0$

Chứng minh biểu thức $A = 3 left (x_ {1} + x_ {2} right) +2 x_ {1} x_ {2} -8$ không phụ thuộc vào giá trị của m

Bài tập ứng dụng:

Bài 1: Đối với phương trình $x ^ {2} - (m + 2) x + 2 m-1 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ . Hãy tạo mối quan hệ giữa $x_ {1}; x_ {2}$ sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) vào m

Bài 2:

Đối với phương trình $x ^ {2} -2 (m + 1) x + m ^ {2} -1 = 0 (1)$

a) Giải phương trình (1) khi m = 7

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (1) có một nghiệm.

c) Tìm mối liên hệ giữa hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ của (1) sao cho mối quan hệ không phụ thuộc vào tham số m

4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm đã cho.

Ví dụ 1: Đối với phương trình $mx ^ {2} -6 (m-1) x + 9 (m-3) = 0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $x_ {1} + x_ {2} = x_ {1} x_ {2}$

Ví dụ 2: Đối với phương trình $mx ^ {2} -2 (m-4) x + m + 7 = 0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $x_ {1} -2 x_ {2} = 0$

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $3 x ^ {2} +4 (m-1) x + m ^ {2} -4 m + 1 = 0$ có hai giải pháp $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $frac {1} {x_ {1}} + frac {1} {x_ {2}} = frac {1} {2} left (x_ {1} + x_ {2} right)$

Ví dụ 4: Đối với phương trình $x ^ {2} -2 (m-1) x + 2 m-5 = 0$

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm $mathrm {x} _ {1}; mathrm {x} _ {2}$ với mỗi m

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $mathrm {x} _ {1}; mathrm {x} _ {2}$ thỏa mãn điều kiện:

Bài tập ứng dụng:

$left (x_ {1} ^ {2} -2 m x_ {1} +2 m-1 right) left (x_ {2} ^ {2} -2 m x_ {2} +2 m-1 đúng)<0$

Bài 1: Đối với phương trình $x ^ {2} + (m-1) x + 5 m-6 = 0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $4 x_ {1} +3 x_ {2} = 1$

Bài 2: Đối với phương trình $mx ^ {2} -2 (m-1) x + 3 (m-2) = 0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_ {1}; x_ {2}$ làm vui lòng $x_ {1} +2 x_ {2} = 1$