Giáo dục

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện


Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt xĐầu tiênx2 thỏa mãn điều kiện

  • A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
    • Định lý Vi-et
  • B. Chẳng hạn, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn điều kiện
  • C. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt xĐầu tiênx2 thỏa mãn điều kiện là dạng toán khó thường gặp trong đề thi vào lớp 10 môn toán. Tài liệu do GiaiToan.com tổng hợp, giới thiệu tới các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các em học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Xin vui lòng tham khảo.

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Định lý Vi-et

Nếu {x_1}; {x_2} là nghiệm của phương trình a {x ^ 2} + bx + c = 0;  left ({a  ne 0}  right) sau đó  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {S = {x_1} + {x_2} =  dfrac {{- b}} {a}} \ {P = {x_1} .  {x_2} =  dfrac {c} {a}}  end {array}}  right.

Các biến thể Biểu thức Phổ biến:

 begin {matrix} {x_1} ^ 2 + {x_2} ^ 2 = { left ({{x_1} + {x_2}}  right) ^ 2} - 2 {x_1} {x_2} = {S ^ 2} - 2P  hfill \ {x_1} ^ 3 + {x_2} ^ 3 = { left ({{x_1} + {x_2}}  right) ^ 3} - 3 {x_1} {x_2}  left ({{ x_1} + {x_2}}  right) = {S ^ 3} - 3S.P  hfill \ {x_1} ^ 4 + {x_2} ^ 4 = { left ({{x_1} ^ 2 + {x_2} ^ 2}  right) ^ 2} - 2 {x_1} ^ 2 {x_2} ^ 2 = { left ({{S ^ 2} - 2P}  right) ^ 2} - 2 {P ^ 2}  hfill \ { left ({{x_1} - {x_2}}  right) ^ 2} = { left ({{x_1} + {x_2}}  right) ^ 2} - 4 {x_1} {x_2} = {S ^ 2} - 4P  hfill \ {x_1} - {x_2} =  sqrt {{S ^ 2} - 4P};  left ({{x_1}  geqslant {x_2}}  right)  hfill   {x_1} ^ 2 - {x_2} ^ 2 = S.  sqrt {{S ^ 2} - 4P};  left ({{x_1}  geqslant {x_2}}  right)  hfill \  end { ma trận}

 begin {matrix} {x_1} ^ 4 - {x_2} ^ 4 =  left ({{S ^ 2} - 2P}  right)  left ({S.  sqrt {{S ^ 2} - 4P}}  right);  left ({{x_1}  geqslant {x_2}}  right)  hfill \  dfrac {1} {{{x_1}}} +  dfrac {1} {{{x_2}}}} =  dfrac {{{x_1} + {x_2}}} {{{x_1} {x_2}}} =  dfrac {S} {P}  hfill \  dfrac {1} {{{x_1} ^ 2}} +  dfrac {1} {{{x_2} ^ 2}} =  dfrac {{{{ left ({{x_1} + {x_2}}  right)} ^ 2} - 2 {x_1} {x_2}} } {{{{ left ({{x_1} {x_2}}  right)} ^ 2}}} =  dfrac {{{S ^ 2} - 2P}} {{{P ^ 2}}}  hfill \  dfrac {{{x_1}}} {{{x_2}}} +  dfrac {{{x_2}}} {{{x_1}}} =  dfrac {{{x_1} ^ 2 + {x_2} ^ 2}} {{{x_1} {x_2}}} =  dfrac {{{{ left ({{x_1} + {x_2}}  right)} ^ 2} - 2 {x_1} {x_2}}} { {{x_1} {x_2}}} =  dfrac {{{S ^ 2} - 2P}} {P}  hfill \  end {matrix}

B. Chẳng hạn, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 1: Đối với phương trình {x ^ 2} - 2mx + 4 = 0  left (1  right)

a) Giải phương trình bậc hai khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm xĐầu tiên; x2 làm vui lòng { left ({{x_1} + 1}  right) ^ 2} + { left ({{x_2} + 1}  right) ^ 2} = 2.

Hướng dẫn giải pháp

a) Với m = 3 ta có phương trình {x ^ 2} - 6x + 4 = 0

Giải phương trình ta được hai nghiệm  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} = 3 +  sqrt 5} \ {{x_2} = 3 -  sqrt 5}  end {array}}  đúng.

b) Chúng tôi có:  Delta '= {m ^ 2} - 4

Phương trình (1) có một nghiệm  Leftrightarrow  Delta ' geqslant 0  Leftrightarrow  left[{begin{array}{*{20}{c}}{mgeqslant2}\{mleqslant-2}end{array}left(*đúngđúng[{begin{array}{*{20}{c}}{mgeqslant2}{mleqslant-2}end{array}left(*right)}right

Áp dụng quan hệ Vi-et, chúng ta có:  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \ {{x_1} {x_2} = 4}  end {array}}  right .

Theo kết quả đầu ra, chúng tôi có:

 begin {matrix} { left ({{x_1} + 1}  right) ^ 2} + { left ({{x_2} + 1}  right) ^ 2} = 2  hfill \  Leftrightarrow {x_1 } ^ 2 + 2 {x_1} + {x_2} ^ 2 + 2 {x ^ 2} = 0  hfill \  Leftrightarrow { left ({{x_1} + {x_2}}  right) ^ 2} - 2 {x_1} {x_2} + 2  left ({{x_1} + {x_2}}  right) = 0  hfill \  Leftrightarrow 4 {m ^ 2} - 8 + 4m = 0  hfill \  Leftrightarrow  left[{begin{array}{*{20}{c}}{{m_1}=1}\{{m_2}=-2}end{array}}righthfill\end{matrận}[{begin{array}{*{20}{c}}{{m_1}=1}{{m_2}=-2}end{array}}righthfill\end{matrix}

So sánh với điều kiện

Ta thấy chỉ có nghiệm m = -2 thoả mãn

Vậy m = -1 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ 2: Đối với phương trình

{x ^ 2} – x + 1 + m = 0 left (1 right)

a) Giải phương trình khi m = 0. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2:{x_1} {x_2}. left ({{x_1} {x_2} – 2} right) = 3 left ({{x_1} + {x_2}} right)

.

Hướng dẫn giải pháp a) Với m = 0, phương trình trở thành

{x ^ 2} – x + 1 = 0 Tại vì Delta = – 3 <0

nên phương trình vô nghiệm. b) Chúng tôi có:

Delta = 1 – 4 left ({1 + m} right) = – 3 – 4 phút

Để phương trình có nghiệm thì

begin {matrix} Delta geqslant 0 hfill \ Leftrightarrow – 3 – 4m geqslant 0 hfill \ Leftrightarrow m leqslant dfrac {{- 3}} {4} left (* right) hfill \ end {matrix} Áp dụng quan hệ Vi-et, chúng ta có:

left {{ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} + {x_2} = 1} \ {{x_1} {x_2} = 1 + m} end {array}} đúng. Thay vì bình đẳng {x_1} {x_2}. left ({{x_1} {x_2} – 2} right) = 3 left ({{x_1} + {x_2}} right)

chúng tôi nhận được:

begin {matrix} left ({1 + m} right) left ({1 + m – 2} right) = 3 hfill \ Leftrightarrow {m ^ 2} = 4 hfill \ Leftrightarrow m = pm 2 hfill \ end {matrix}

So sánh với điều kiện

suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn Vậy m = -2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ 3:

Đối với phương trình:

left ({{x ^ 2} – x – m} right) left ({x – 1} right) = 0 { text {}} left (1 right)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải pháp

a) Với m = 2, phương trình trở thành:  left ({{x ^ 2} - x - 2}  right)  left ({x - 1}  right) = 0  Leftrightarrow  left[{begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2=0}\{x-1}end{array}}rightLeftrightarrowleft[{begin{array}{*{20}{c}}{x=-1;x=2}\{x=1}end{array}}right[{begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2=0}{x-1}end{array}}rightLeftrightarrowleft[{begin{array}{*{20}{c}}{x=-1;x=2}{x=1}end{array}}right

Vậy tập nghiệm của phương trình

S = left {{- 1; 1; 2} right } b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1 nên phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Trường hợp 1:

f  left (x  right) = {x ^ 2} - x - m = 0

có một căn kép khác 1  Leftrightarrow  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} { Delta = 0} \ {f  left (1  right)  ne 0}  end {array}}  right .   Leftrightarrow  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {1 + 4m = 0} \ {1 - 1 - m  ne 0}  end {array}  Leftrightarrow  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {m =  dfrac {{- 1}} {4}} \ {m  ne 0}  end {array}}  right.}  đúng.   Leftrightarrow m = -  frac {1} {4} Trường hợp 2:

f  left (x  right) = {x ^ 2} - x - m = 0

có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng 1

Leftrightarrow left {{ begin {array} {* {20} {c}} { Delta> 0} \ {f left (1 right) = 0} end {array}} right. Leftrightarrow left {{ begin {array} {* {20} {c}} {1 + 4m> 0} \ {1 – 1 – m = 0} end {array} Leftrightarrow left { { begin {array} {* {20} {c}} {m> dfrac {{- 1}} {4}} \ {m = 0} end {array}} right.} right. Leftrightarrow m = 0 Vậy phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = -1/4.Ví dụ 4: Cho phương trình ẩn x: x

2– 2mx – 1 = 0 (1)a) Chứng minh rằng phương trình (1) đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt xĐầu tiênx

2.b) Tìm các giá trị của tham số m để x Đầu tiên2+ x 22– xĐầu tiên .x

2

= 7.Hướng dẫn giải pháp a) Ta có: ‘= m

2+ 1> 0 với mọi giá trị của tham số m.Do đó, phương trình (1) đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt xĐầu tiênx

2 .

b) Theo định lý Viet: left {{ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \ {{x_1}. {x_2} = – 1} end {array}} right.Chúng tôi có: x Đầu tiên2+ x 22– xĐầu tiên .x

2= 7 => (xĐầu tiên+ x2 )2– 3xĐầu tiên .x

2= 7 => 4 m

2+ 3 = 7 => m

2

= 1

=> m = 1 hoặc m = -1

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán. C. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.Bài 1: Đối với phương trình: x2– 14x + 29 = 0 có hai nghiệm là xĐầu tiên

x

2 Hãy tính toán: một) {x_1} ^ 3 + {x_2} ^ 3

b) frac {{1 – {x_1}}} {{{x_1}}} + frac {{1 – {x_2}}} {{{x_2}}}Bài 2: Cho phương trình x

2

– 2 (m + 1) x + m – 4 = 0, m là tham số.a) Giải phương trình khi m = -5.b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm xĐầu tiên x

2

cho tất cả các tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.e) Chứng minh rằng biểu thức A = xĐầu tiên(1 – x2) + x2(x – x

Đầu tiên ) không phụ thuộc vào tham số m.Bài 3: Cho phương trình ẩn x: (m – a) x

2

+ 2mx + m – 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 5.b) Tìm m để phương trình có nghiệm

x = sqrt 2

. Tìm bài kiểm tra còn lại.c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Không có giải pháp? Có một gốc kép?d) Khi phương trình có nghiệm xĐầu tiên x

2Hãy tính toán:i) A = x 2Đầu tiên+ x 2

2

theo tham số m. ii) Tìm m để A = 1Bài 4: Đối với phương trình: x2 + 2 (m + 1) x + m

2

= 0 (1).

a) Giải phương trình với m = 5. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm có giá trị bằng -2.Bài 5: Đối với phương trình: x

2

– 2 (m – 1) x – m – 3 = 0 (1)a) Giải phương trình với m = -3.b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: x 2Đầu tiên+ x 2

2

= 10. c) Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.Bài 6: Cho phương trình x

2

– (m + 5) x – m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1.b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x = -2.c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm xĐầu tiên x 2thỏa mãn điều kiện:

{x_1} ^ 2. {x_2} + {x_1}. {x_2} ^ 2 = 24 . Bài 7: Đối với phương trình bậc hai

2 {x ^ 2} + left ({2m – 1} right) x + m – 1 = 0

trong đó m là tham số.a) Giải phương trình với m = 1 và m = 2.b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm xĐầu tiên x 2thỏa mãn điều kiện:

4 {x_1} ^ 2 + 2 {x_1} {x_2} + 4 {x_2} ^ 2 = 1 .Bài 8: Cho phương trình x

2

+ ax + b + 1 = 0 trong đó a, b là tham số.a) Giải phương trình khi a = 3; b = -5.b) Tìm giá trị của a và b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt xĐầu tiên x 2thỏa mãn điều kiện:

left {{ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} – {x_2} = 3} \ {{x_1} ^ 2 – {x_2} ^ 2 = 9} end { mảng}} right.. Bài 9: Cho phương trình ẩn x: x2 – (2m + 1) x + m

2

+ 5m = 0.

a) Giải phương trình với m = -2.

  • b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm là 6.
  • ——> Tài liệu tham khảo:
  • Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
  • Tìm m để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất
  • Tìm điều kiện của tham số m để ba đường thẳng đồng quy
  • Tìm m để nghiệm phương trình

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện ————————————————– – —Tài liệu hy vọngTìm tham số m để phương trình có nghiệm xĐầu tiên x 2

thỏa mãn điều kiện đã cho

  • sẽ giúp các em học sinh nắm vững các cách biến đổi biểu thức có chứa căn, đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tập may mắn, hãy tham khảo nhé!
  • Ngoài ra, mời quý thầy cô giáo và các em học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
  • Luyện tập Toán 9

Giải bài tập SGK toán lớp 9 Đề thi giữa kì 1 môn Toán lớp 9

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button