Giáo dục

Viết phương trình đường thẳng


Vở bài tập Toán 10: Viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng Toán 10 cung cấp phương pháp và ví dụ cụ thể, giúp các em học sinh THPT ôn tập, củng cố kiến ​​thức về dạng toán phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy. Vật liệu bao gồm cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng kèm theo bài tập minh họa có lời giải và bài tập luyện tập giúp các bạn thuộc nhiều dạng bài toán chuyên đề về đường thẳng trong hệ tọa độ. . Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

A. Viết phương trình tổng quát

1. Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định:

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow n =  left ({a; b}  right) qua

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng là

a  left ({x - {x_0}}  right) + b  left ({y - {y_0}}  right) = 0

2. Bài tập viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A (-1; 2) và vuông góc với đường thẳng ∆: 2x – y + 4 = 0

Hướng dẫn giải pháp

Phương pháp 1:

Phương trình đường thẳng d có dạng x + 2y + C = 0

Vì d đi qua A (-1; 2) nên ta có phương trình: -1 + 2.2 + C = 0

=> C = -3

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là x + 2y – 3 = 0

Phương pháp 2:

Đường thẳng có một vectơ chỉ hướng  overrightarrow u =  left ({1; 2}  right)

Vì d vuông góc với nên d lấy  overrightarrow u =  left ({1; 2}  right) tạo vector bình thường

Phương trình của đường thẳng d là:

1. (x + 1) + 2 (y – 2) = 0

=> x + 2y – 3 = 0

Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 3 - 3t} \ {y = - 4 + 10t}  end {array}}  right.

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng w đi qua điểm N (4; 2) và vuông góc với ∆.

Hướng dẫn giải pháp

a) Đoạn thẳng có vectơ chỉ phương là  overrightarrow u =  left ({2; - 1}  right) vì vậy vectơ pháp tuyến là  overrightarrow n =  left ({1; 2}  right)

Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A (1; -3) nằm trên ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là:

1. (x – 1) + 2 (y – (-3)) = 0

=> x + 2y – 5 = 0

b) Đường thẳng w vuông góc với nên vectơ pháp tuyến là  overrightarrow {{n_w}} =  left ({2; - 1}  right)

Phương trình tổng quát của đường thẳng w là:

2 (x – 4) – 1 (y – 2) = 0

=> 2x – y – 6 = 0

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 5) và cách đều A (-1; 2) và B (5; 4)

Hướng dẫn giải pháp

Gọi phương trình của đường thẳng d cần tìm là: ax + by + c = 0 (điều kiện a2 + b2 0) (1)

Vì M (2; 5) d trở thành thánh 2a + 5b + c = 0

=> c = -2a – 5b.

Thay c = -2a – 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành ax + by – 2a – 5b = 0 (2)

Vì d cách đều hai điểm A và B nên ta có:

 begin {matrix}  dfrac {{ left |  { left ({- 1}  right) a + 2b - 2a - 5b}  right |}} {{ sqrt {{a ^ 2} + {b ^ 2}}}} =  dfrac {{ left |  {5a + 4b - 2a - 5b}  right |}} {{ sqrt {{a ^ 2} + {b ^ 2}}}}  hfill \  Leftrightarrow  left |  {3a + 3b}  đúng |  =  trái |  {3a - b}  right |   hfill \  Leftrightarrow 9 {a ^ 2} + 18ab + 9 {b ^ 2} = 9 {a ^ 2} - 6ab + {b ^ 2}  hfill \  Leftrightarrow 8 {b ^ 2} + 24ab = 0  hfill \  Leftrightarrow  left[{begin{array}{*{20}{c}}{b=0}\{b=-3a}end{array}}righthfill\end{matrận}[{begin{array}{*{20}{c}}{b=0}{b=-3a}end{array}}righthfill\end{matrix}

Với b = 0 thay vào (2) ta được phương trình của đường thẳng d:

ax + 0y – 2a – 5,0 = 0

=> ax – 2a = 0

=> x – 2 = 0

Với b = -3a

Ta chọn a = 1 => b = -3 thay a, b vào (2) ta được phương trình của đường thẳng d là

1x – 3y – 2 – 5 (-3) = 0

=> x – 3y + 13 = 0

B. Viết phương trình tham số

1. Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

Phương pháp:

– Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định:

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow u =  left ({a; b}  right) qua .

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng là

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt}  end {array};  left ({t  in  mathbb {R}}  right)}  đúng.

2. Cách viết phương trình chính tắc của đường

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow u =  left ({a; b}  right); ab  ne 0 qua .

Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng là

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt}  end {array};  left ({t  in  mathbb {R}}  right)}  đúng.

(Trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).

3. Bài tập viết phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; -4); B (0; 6). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải pháp

Đường thẳng AB qua A (3; -4) được  overrightarrow {AB} =  left ({- 3; 10}  right) tạo vectơ hướng

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng AB là:  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 3 - 3t} \ {y = - 4 + 10t}  end {array}}  right.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số cho đường thẳng d đi qua điểm A (0; -4) và song song với đường thẳng d ‘có phương trình tham số là  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 2017 + 2t} \ {y = 2018 - t}  end {array}}  right.

Hướng dẫn giải pháp

Đường thẳng d ‘có vectơ chỉ phương  overrightarrow u =  left ({2; - 1}  right)

Đường thẳng d song song với đường thẳng d ‘nên lấy d làm vectơ chỉ phương

Ta có đường thẳng d đi qua điểm A (0; -4) nên phương trình tham số của đường thẳng d là:

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 2a} \ {y = - 4 - a}  end {array}}  right.

————————————————– – ——–

Mong Chủ đề: Phương trình của một đường thẳng là tài liệu hữu ích để các bạn ôn tập cho bài kiểm tra năng lực, bổ sung cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Vở bài tập Toán 10: Viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng Toán 10 cung cấp phương pháp và ví dụ cụ thể, giúp các em học sinh THPT ôn tập, củng cố kiến ​​thức về dạng toán phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy. Vật liệu bao gồm cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng kèm theo bài tập minh họa có lời giải và bài tập luyện tập giúp các bạn thuộc nhiều dạng bài toán chuyên đề về đường thẳng trong hệ tọa độ. . Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

A. Viết phương trình tổng quát

1. Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định:

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow n =  left ({a; b}  right) qua

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng là

a  left ({x - {x_0}}  right) + b  left ({y - {y_0}}  right) = 0

2. Bài tập viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A (-1; 2) và vuông góc với đường thẳng ∆: 2x – y + 4 = 0

Hướng dẫn giải pháp

Phương pháp 1:

Phương trình đường thẳng d có dạng x + 2y + C = 0

Vì d đi qua A (-1; 2) nên ta có phương trình: -1 + 2.2 + C = 0

=> C = -3

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là x + 2y – 3 = 0

Phương pháp 2:

Đường thẳng có một vectơ chỉ hướng  overrightarrow u =  left ({1; 2}  right)

Vì d vuông góc với nên d lấy  overrightarrow u =  left ({1; 2}  right) tạo vector bình thường

Phương trình của đường thẳng d là:

1. (x + 1) + 2 (y – 2) = 0

=> x + 2y – 3 = 0

Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 3 - 3t} \ {y = - 4 + 10t}  end {array}}  right.

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng w đi qua điểm N (4; 2) và vuông góc với ∆.

Hướng dẫn giải pháp

a) Đoạn thẳng có vectơ chỉ phương là  overrightarrow u =  left ({2; - 1}  right) vì vậy vectơ pháp tuyến là  overrightarrow n =  left ({1; 2}  right)

Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A (1; -3) nằm trên ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là:

1. (x – 1) + 2 (y – (-3)) = 0

=> x + 2y – 5 = 0

b) Đường thẳng w vuông góc với nên vectơ pháp tuyến là  overrightarrow {{n_w}} =  left ({2; - 1}  right)

Phương trình tổng quát của đường thẳng w là:

2 (x – 4) – 1 (y – 2) = 0

=> 2x – y – 6 = 0

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 5) và cách đều A (-1; 2) và B (5; 4)

Hướng dẫn giải pháp

Gọi phương trình của đường thẳng d cần tìm là: ax + by + c = 0 (điều kiện a2 + b2 0) (1)

Vì M (2; 5) d trở thành thánh 2a + 5b + c = 0

=> c = -2a – 5b.

Thay c = -2a – 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành ax + by – 2a – 5b = 0 (2)

Vì d cách đều hai điểm A và B nên ta có:

 begin {matrix}  dfrac {{ left |  { left ({- 1}  right) a + 2b - 2a - 5b}  right |}} {{ sqrt {{a ^ 2} + {b ^ 2}}}} =  dfrac {{ left |  {5a + 4b - 2a - 5b}  right |}} {{ sqrt {{a ^ 2} + {b ^ 2}}}}  hfill \  Leftrightarrow  left |  {3a + 3b}  đúng |  =  trái |  {3a - b}  right |   hfill \  Leftrightarrow 9 {a ^ 2} + 18ab + 9 {b ^ 2} = 9 {a ^ 2} - 6ab + {b ^ 2}  hfill \  Leftrightarrow 8 {b ^ 2} + 24ab = 0  hfill \  Leftrightarrow  left[{begin{array}{*{20}{c}}{b=0}\{b=-3a}end{array}}righthfill\end{matrận}[{begin{array}{*{20}{c}}{b=0}{b=-3a}end{array}}righthfill\end{matrix}

Với b = 0 thay vào (2) ta được phương trình của đường thẳng d:

ax + 0y – 2a – 5,0 = 0

=> ax – 2a = 0

=> x – 2 = 0

Với b = -3a

Ta chọn a = 1 => b = -3 thay a, b vào (2) ta được phương trình của đường thẳng d là

1x – 3y – 2 – 5 (-3) = 0

=> x – 3y + 13 = 0

B. Viết phương trình tham số

1. Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

Phương pháp:

– Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định:

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow u =  left ({a; b}  right) qua .

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng là

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt}  end {array};  left ({t  in  mathbb {R}}  right)}  đúng.

2. Cách viết phương trình chính tắc của đường

+ Điểm A (x0; y0)

+ Một vectơ pháp tuyến  overrightarrow u =  left ({a; b}  right); ab  ne 0 qua .

Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng là

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt}  end {array};  left ({t  in  mathbb {R}}  right)}  đúng.

(Trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).

3. Bài tập viết phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; -4); B (0; 6). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải pháp

Đường thẳng AB qua A (3; -4) được  overrightarrow {AB} =  left ({- 3; 10}  right) tạo vectơ hướng

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng AB là:  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 3 - 3t} \ {y = - 4 + 10t}  end {array}}  right.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số cho đường thẳng d đi qua điểm A (0; -4) và song song với đường thẳng d ‘có phương trình tham số là  left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 2017 + 2t} \ {y = 2018 - t}  end {array}}  right.

Hướng dẫn giải pháp

Đường thẳng d ‘có vectơ chỉ phương  overrightarrow u =  left ({2; - 1}  right)

Đường thẳng d song song với đường thẳng d ‘nên lấy d làm vectơ chỉ phương

Ta có đường thẳng d đi qua điểm A (0; -4) nên phương trình tham số của đường thẳng d là:

 left  {{ begin {array} {* {20} {c}} {x = 2a} \ {y = - 4 - a}  end {array}}  right.

————————————————– – ——–

Mong Chủ đề: Phương trình của một đường thẳng là tài liệu hữu ích để các bạn ôn tập cho bài kiểm tra năng lực, bổ sung cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button